ПРЕДЕЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Число a называется пределом последовательности x₁, x₂, … ,x_n, … , если для всякого сколь угодно малого положительного числа $varepsilon$ найдется такое положительное число N, что $delim{|}{x_n-a}{|}< varepsilon$ при n>N. В этом случае пишут $lim{n right infty}{x_n}=a$ .

Число А называется пределом функции f(x) при $x right a$ , если для любого сколь угодно малого $varepsilon > 0$ найдется такое $delta>0$ , что $delim{|}{f(x)-A}{|}< varepsilon$ при $delim{|}{x-a}{|}< delta$ . Это записывают так: $lim{n right a}{f(x)}=A$ .

Аналогично, $lim{n right infty}{f(x)}=A$ , если $delim{|}{f(x)-A}{|}< varepsilon$ при $delim{|}{x}{|}>N$ .
Условно записывают $lim{n right a}{f(x)}=infty$ , если $delim{|}{f(x)}{|}>M$ при $delim{|}{x-a}{|}< delta$ , где М — произвольное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при $x right a$ .
Если $lim{n right a}{alpha(x)}=0$ , то функция $alpha(x)$ называется бесконечно малой величиной при $x right a$

Если $x < a$ и $x right a$ , то употребляют запись $x right a-o$ ; если $x > a$ и $x right a$ — запись $x right a+o$ .

Числа $f(a-o)=lim{n right a-o}{f(x)}$ и $f(a+o)=lim{n right a+o}{f(x)}$ называются соответственно левым и правым пределом функции $f(x)$ в точке а.

Для существования предела функции $f(x)$ при $x right a$ необходимо и достаточно, чтобы $f(a-o)=f(a+o)$

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют $lim{x right a}{f(x)}$ и $lim{x right a}{g(x)}$ , то

1) $lim{x right a}{delim{[}{f(x)+g(x)}{]}}=lim{x right a}{f(x)}+lim{x right a}{g(x)}$
2) $lim{x right a}{delim{[}{f(x)*g(x)}{]}}=lim{x right a}{f(x)}*lim{x right a}{g(x)}$
3) $lim{x right a}{delim{[}{{f(x)}/{g(x)}}{]}}={lim{x right a}{f(x)}}/{lim{x right a}{g(x)}}$ (при $lim{x right a}{g(x)<>0}$